參考《數(shù)字信號處理》楊毅明著p.183-184，機械工業(yè)出版社2012年發(fā)行。

　　數(shù)字濾波器是按照程序計算信號，達到濾波的目的。通過對數(shù)字濾波器的存儲器編寫程序，就可以實現(xiàn)各種濾波功能。對數(shù)字濾波器來說，增加功能就是增加程序，不用增加元件，不受元件誤差的影響，對低頻信號的處理也不用增加芯片的體積。用數(shù)字濾波方法可以擺脫模擬濾波器被元件限制的困擾。

　　數(shù)字濾波器一詞出現(xiàn)在60年代中期。由于電子計算機技術(shù)和大規(guī)模集成電路的發(fā)展，數(shù)字濾波器已可用計算機軟件實現(xiàn)，也可用大規(guī)模集成數(shù)字硬件實時實現(xiàn)。

　　數(shù)字濾波器是一個離散時間系統(tǒng)(按預定的算法，將輸入離散時間信號(對應(yīng)數(shù)字頻率)轉(zhuǎn)換為所

　　要求的輸出離散時間信號的特定功能裝置)。應(yīng)用數(shù)字濾波器處理模擬信號(對應(yīng)模擬頻率)時，首先須對輸入模擬信號進行限帶、抽樣和模數(shù)轉(zhuǎn)換。數(shù)字濾波器輸入信號的數(shù)字頻率(2π*f/fs,f為模擬信號的頻率，fs為采樣頻率，注意區(qū)別于模擬頻率),按照奈奎斯特抽樣定理，要使抽樣信號的頻譜不產(chǎn)生重疊，應(yīng)小于折疊頻率(ws/2=π)，其頻率響應(yīng)具有以2π為間隔的周期重復特性，且以折疊頻率即ω=π點對稱。為得到模擬信號，數(shù)字濾波器處理的輸出數(shù)字信號須經(jīng)數(shù)模轉(zhuǎn)換、平滑。數(shù)字濾波器具有高精度、高可靠性、可程控改變特性或復用、便于集成等優(yōu)點。數(shù)字濾波器在語言信號處理、圖像信號處理、醫(yī)學生物信號處理以及其他應(yīng)用領(lǐng)域都得到了廣泛應(yīng)用。

　　數(shù)字濾波器有低通、高通、帶通、帶阻和全通等類型。它可以是時不變的或時變的、因果的或非因果的、線性的或非線性的。應(yīng)用最廣的是線性、時不變數(shù)字濾波器，以及f.i.r濾波器。

　　數(shù)字濾波器特點

　　IIR數(shù)字濾波器的最通用的方法是借助于模擬濾波器的設(shè)計方法。模擬濾波器設(shè)計已經(jīng)有了相當成熟的技術(shù)和方法，有完整的設(shè)計公式，還有比較完整的圖表可以查詢，因此設(shè)計數(shù)字濾波器可以充分利用這些豐富的資源來進行。

　　對于IIR數(shù)字濾波器的設(shè)計具體步驟如下：

　　(1)按照一定的規(guī)則將給出的數(shù)字濾波器的技術(shù)指標轉(zhuǎn)換為模擬低通濾波器的技術(shù)指標。

　　(2)根據(jù)轉(zhuǎn)換后的技術(shù)指標設(shè)計模擬低通濾波器G(s)(G(s)是低通濾波器的傳遞函數(shù))。

　　(3)再按照一定的規(guī)則將G(s)轉(zhuǎn)換成H(z)(H(z)是數(shù)字濾波器的傳遞函數(shù))。若設(shè)計的數(shù)字濾波器是低通的，上述的過程可以結(jié)束，若設(shè)計的是高通、帶通或者是帶阻濾波器，那么還需要下面的步驟：

　　將高通、帶通或帶阻數(shù)字濾波器的技術(shù)指標轉(zhuǎn)換為低通模擬濾波器的技術(shù)指標，然后設(shè)計出低通G(s)，再將G(s)轉(zhuǎn)換為H(z)。

　　IIR數(shù)字濾波器的系統(tǒng)函數(shù)可以寫成封閉函數(shù)的形式。

　　IIR數(shù)字濾波器采用遞歸型結(jié)構(gòu)，即結(jié)構(gòu)上帶有反饋環(huán)路。IIR濾波器運算結(jié)構(gòu)通常由延時、乘以系數(shù)和相加等基本運算組成，可以組合成直接型、正準型、級聯(lián)型、并聯(lián)型四種結(jié)構(gòu)形式，都具有反饋回路。由于運算中的舍入處理，使誤差不斷累積，有時會產(chǎn)生微弱的寄生振蕩。

　　IIR數(shù)字濾波器在設(shè)計上可以借助成熟的模擬濾波器的成果，如巴特沃斯、契比雪夫和橢圓濾波器等，有現(xiàn)成的設(shè)計數(shù)據(jù)或圖表可查，其設(shè)計工作量比較小，對計算工具的要求不高。在設(shè)計一個IIR數(shù)字濾波器時，我們根據(jù)指標先寫出模擬濾波器的公式，然后通過一定的變換，將模擬濾波器的公式轉(zhuǎn)換成數(shù)字濾波器的公式。

　　IIR數(shù)字濾波器的相位特性不好控制，對相位要求較高時，需加相位校準網(wǎng)絡(luò)。

　　在MATLAB下設(shè)計IIR濾波器可使用Butterworth函數(shù)設(shè)計出巴特沃斯濾波器，使用Cheby1函數(shù)設(shè)計出契比雪夫I型濾波器，使用Cheby2設(shè)計出契比雪夫II型濾波器，使用ellipord函數(shù)設(shè)計出橢圓濾波器。下面主要介紹前兩個函數(shù)的使用。

　　與FIR濾波器的設(shè)計不同，IIR濾波器設(shè)計時的階數(shù)不是由設(shè)計者指定，而是根據(jù)設(shè)計者輸入的各個濾波器參數(shù)(截止頻率、通帶濾紋、阻帶衰減等)，由軟件設(shè)計出滿足這些參數(shù)的最低濾波器階數(shù)。在MATLAB下設(shè)計不同類型IIR濾波器均有與之對應(yīng)的函數(shù)用于階數(shù)的選擇。

　　IIR單位響應(yīng)為無限脈沖序列FIR單位響應(yīng)為有限的

　　IIR幅頻特性精度很高，不是線性相位的，可以應(yīng)用于對相位信息不敏感的音頻信號上;

　　FIR幅頻特性精度較之于iir低，但是線性相位，就是不同頻率分量的信號經(jīng)過FIR濾波器后他們的時間差不變。這是很好的性質(zhì)。

　　另外有限的單位響應(yīng)也有利于對數(shù)字信號的處理，便于編程，用于計算的時延也小，這對實時的信號處理很重要。

　　數(shù)字濾波器分類

　　數(shù)字濾波器可以按所處理信號的維數(shù)分為一維、二維或多維數(shù)字濾波器。一維數(shù)字濾波器處理的信號為單變量函數(shù)序列，例如時間函數(shù)的抽樣值。二維或多維數(shù)字濾波器處理的信號為兩個或多個變量函數(shù)序列。例如，二維圖像離散信號是平面坐標上的抽樣值。

　　一維濾波器

　　處理一維數(shù)字信號序列的算法或裝置。線性、時不變一維數(shù)字濾波器的輸出信號序列y(n)和輸入信號序列x(n)的關(guān)系由線性、常系數(shù)差分方程描述：

　　圖二 分別為輸出和輸入信號序列的Z變換。轉(zhuǎn)移函數(shù)H(z)的Z反變換稱為一維數(shù)字濾波器的單位沖激響應(yīng)，即h(n)=Z-1【H(z)】。輸出信號序列也可以表示為輸入信號序列x(n)與數(shù)字濾波器單位沖激響應(yīng)h(n)的離散褶積(如圖三) 如果數(shù)字濾波器的單位沖激響應(yīng)h(n)只有有限個非零值，稱為有限沖激響應(yīng)數(shù)字濾波器。如果單位沖激響應(yīng)具有無限

　　圖3 多個非零值，稱為無限沖激響應(yīng)數(shù)字濾波器。

　　有限沖激響應(yīng)數(shù)字濾波器一般采取非遞歸型算法結(jié)構(gòu)，因此也稱非遞歸型數(shù)字濾波器。無限沖激響應(yīng)數(shù)字濾波器只能采取遞歸型算法結(jié)構(gòu)，故又稱遞歸型數(shù)字濾波器。

　　二維濾波器

　　處理二維數(shù)字信號序列的算法或

　　圖4 裝置。線性、時不變二維數(shù)字濾波器的輸出 y(m，n)與輸入 x(m，n)關(guān)系由兩個變量線性常系數(shù)差分方程描述相應(yīng)的轉(zhuǎn)移函數(shù)為圖5式中，a b為濾波器系數(shù),Z【y(m,n)】和Z【x(m，n)】分別為輸出和輸入信號序列的二維Z變換。

　　圖5 轉(zhuǎn)移函數(shù)H(z1，z2)的二維Z反變換h(m，n)=Z-1【H(z1,z2】,稱為二維數(shù)字濾波器的單位沖激響應(yīng)。二維數(shù)字濾波器的輸出y(m，n)亦可表示為輸入信號序列x(m,n)和單位沖激響應(yīng)h(m，n)的二維離散褶積(圖六) 二維數(shù)字濾波器對單位沖激響應(yīng)亦分有限沖激響應(yīng)和無限沖激響應(yīng)

　　圖6 兩類。二維有限沖激響應(yīng)數(shù)字濾波器為非遞歸型算法結(jié)構(gòu)，因此又稱二維非遞歸型數(shù)字濾波器。二維無限沖激響應(yīng)數(shù)字濾波器為遞歸型算法結(jié)構(gòu)，因此也稱二維遞歸型數(shù)字濾波器。